Die Lichtuhr

oder wie man die Zeitdilatation ableiten kann.

Ich werde eine kleine Lichtuhr bauen, die einem Zweig des Michelson-Morley Interferometers entspricht. Da ich, auch im Ruhestand ein Elektronikingenieur bin, will ich sie natürlich elektronisch realisieren. Aber zunächst das Prinzip als mechanisches Modell.

Bild 1

Es gibt eine Lichtquelle, die, wenn der Hebel mit dem Spiegel in der gezeichneten Stellung ist, das Licht der Lampe auf einen zweiten Spiegel weiterleitet, von wo es zurückgespiegelt auf den Hebel treffen wird und diesen in die strichlierte Stellung bringt, solange Licht ankommt. Sonst geht der Hebel wegen der Feder wieder in die gezeichnete Stellung zurück. Ist der Hebel in der strichlierten Stellung, so wird, wie zu erkennen, kein Licht zum rechten Spiegel geworfen.
Jetzt stellen sie sich bitte das Licht ganz langsam kriechend vor. In der Zeichnung ist das Licht gerade noch nicht beim Hebel angekommen, die ganze Länge vom 1. Spiegel bis fast zum Hebel ist mit Licht gefüllt.
Kommen die ersten Photonen beim Hebel an, so geht der Hebel in die gezeichnete Stellung und das Ende des Lichtstrahls wird noch eine zeitlang bis zum Hebel ankommen. Aber es fliegen keine neuen Photonen mehr zum rechten Spiegel. Ist der Lichtstrahl zu Ende, dann geht der Hebel wieder in die gezeichnete Stellung und das ganze Spiel beginnt einen nächsten Zyklus. Wenn man die Distanz vom Hebel bis zum rechten Spiegel 0,75 m macht, so ist die Lichtstrahllänge 1,5m und dann 1,5 m kein Licht. Ein Zyklus also 3 m lang.
Der Hebel ist nur für Nichtelektroniker gedacht und auch viel zu langsam, aber für das Konstruktionsprinzip ausreichend. So ein „Hebel“ könnte ein Teil einer Lichtmühle sein, wie folgendes Bild 2 zeigt.

Bild 2 Lizenz CC: Crookes radiometer moving.gif by-sa Hustvedt

Die Elektronik = der Hebel muss sehr schnell sein, damit die Resultate nicht zu sehr verfälscht werden. Das Licht braucht ja auch nur 10 ns für einen Zyklus.
Mit anderen Worten: Der Hebel geht 100 Millionen mal in jeder Sekunde hin und her.
Lassen sie sich nicht schrecken. Ein UKW Sender mit 100 Mhz macht dasselbe und das kennen sie.
Bei mir braucht der Hebel ca. 4 ns, also insgesamt wird das ganze System mit etwa 70 MHz pendeln, wie eine Pendeluhr, nur eben mit Licht. Ich hoffe es war nicht zu kompliziert erklärt.

Nun, man kann diese Pendelzeit gut messen, sogar auf 9 Dezimalstellen genau. Wenn es nun den Äther gäbe, dann sollte ich durch drehen die Stellung finden, wo die Uhr am langsamsten geht. Das wäre nichts anderes als der Michelson-Morley Versuch, nachvollzogen mit modernen Mitteln aus meiner Schrottkiste (Laserpointer, Photodiode, schnelle Transistoren etc. und auch ein Frequenzzähler Marke Eigenbau).

Wie bei Michelson-Morley kann auch ich keinen Äther nachweisen. Bei der Erdumlaufbahngeschwindigkeit von 30 km/sec, das ist bei 300000 km/sec für das Licht doch 1/10000. Nicht wie beim Flugzeug, s.o., mit 1000 km/h und 500 km/h Windgeschwindigkeit. Aber sonst ist es gleich.Das Messresultat bei 10 sec Messdauer wäre etwa um 5 Hz verschieden. Na ja, für Privatleute mit geringsten Mitteln, nicht so schlecht, denke ich.
Nebstbei die Sonne bewegt sich, bezogen auf die Milchstrasse, mit etwas 300 km/sec. Damit bräuchte ich nicht einmal eine Messzeit von 10 sec. 1 sec wäre ausreichend.

Jetzt wollen wir einmal nachprüfen, ob die Behauptung von Einstein, dass bewegte Uhren langsamer gehen sich mit so einer Lichtuhr erklären lassen.

Ausgangspunkt ist folgendes Bild 3:

Wir sehen System 1 und System 2, das sich mit der Geschwindigkeit v von System 1 fortbewegt.
In System 1 gehen Lichtsrahlen nach oben und nach rechts, werden gespiegelt und kehren wieder zum Ausgangspunkt zurück.
Die Länge einer Strecke ist L.
c ist die Lichtgeschwindigkeit
v ist die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen System 1 und 2

Im System 1 dauert es vom der Mitte bis zum oberen oder rechten Spiegel die Zeit
t1 = L / c, so wie sie auch die Fahrzeit mit dem Auto für eine bestimmte Strecke berechnen würden.

Im System 2, gesehen von System 1 aus, sieht man, dass das Licht eine längere Strecke bis zum Spiegel zurücklegen muss.

Lneu kann man nun mit dem Pythagoreischen Lehrsatz, wie sie es in der Schule gelernt haben, berechnen.

Lneu² = L² + (v*t1)² jetzt kann man einsetzen
t1² * c² = t2² * c² + v²*t1²  |:c² und nach t1 auflösen
t1 = t2/ √( 1 – v² / c²)  das war’s auch schon.

Je größer v wird umso kleiner wird t2 …. die bewegte Uhr geht langsamer.
Paradoxerweise wird auch ein Beobachter im System 2 sagen:“ Die Uhr im System 1 geht langsamer“
So ein Unsinn, was ist jetzt richtig?
Nun im Artikel über die SRT habe ich festgehalten dass die SRT nur für antriebslose Systeme gilt.
Aber es ist definitiv richtig. Ihr NAVI würde ganz schön falsche Orte anzeigen, wenn diese Zeitdehnung nicht berücksichtigt werden würde!
Die Lösung liegt darin, dass man den Anfang einer Lage berücksichtigen muss. Die NAVI-Satelliten waren ja zuerst auch auf der Erde in Ruhe vor dem Start der Rakete. Im Orbit um die Erde bewegen sie sich ja, also gehen ihre Uhren langsamer! Aber Achtung, sie gehen wieder schneller wegen der Allg. Relativitätstheorie, was aber hier nicht erläutert werden soll.

Jetzt schauen wir  den horizontalen Zweig der rechten Teils von Bild 3 von System 1 aus an.Nach einer Spiegelung des Lichtstrahl und Rückkehr zum Aussendepunkt sehen wir, dass dieser sich von A nach B bewegt hat.

Im Beobachter-System 1 benötigt das die Zeit für hin und her t = 2*L/c
Im System 2 läuft ja der Lichtstrahl in der Bewegungsrichtung mit und nach der Spiegelung dagegen,
wie ein Flugzeug mit Rückenwind und Gegenwind.

t_hin = L/(c+v) und t_her = L/(c-v) die Zeit für einen Zyklus ist also
t2 = t_hin + t_her wir setzen ein und erhalten schließlich

t1 = 2*L*c/(c² – v²) damit es ähnicher dem Querzweig wird, wandeln wir um
t1 = 2*L/c / ( 1- v²/ c²) einsetzen von t2, was ja enthalten ist, s.o.
t1 = t2 / (1- v²/ c²)

Irgendwas kann ja da nicht stimmen, da für den Querzweig an sich dasselbe dasteht, nur die Wurzel fehlt. Was kann das sein?
Es sieht so aus, dass das Licht im Längszweig mehr Zeit braucht um wieder zum Ausgangspunkt zurück zu kommen. Das sieht aber, im System 2, gesehen nicht so aus, da ja beide Zweige gleich lang sind.
Wir machen folgendes: Jedes Mal, wenn das Licht vom Längs- und Querzweig zurück ist, soll ein grünes und ein rotes Lämpchen einmal blinken. Vom System 2 aus gesehen geschieht das im selben Augenblick, so wie es auch im System 1 selbst auch passieren würde. Nur vom System 1 aus gesehen sollten die Lämpchen im System 2 nicht gleichzeitig blinken, aber im System 2 selbst gleichzeitig.

Nun, ein Ereignis kann sich ereignen, aber nicht aufspalten in zwei Ereignisse. Das versteht jeder. Die Lösung ist wie folgt:

Der Ausdruck ( 1 – v² / c²) ist ident mit
Wurzel( 1 – v² / c²) * Wurzel( 1 – v² / c²) ……. so wie 4 = Wurzel(4)* Wurzel(4)

Mathematisch gesehen macht man folgendes, dass man eine Wurzel zur Reduktion der Länge L im Längszweig in Bild 3 zuschlägt. Das bedeutet, dass sich die Länge L in Bewegungsrichtung verkürzt. L2 = L / wurzel( 1 – v² / c²)
Das hatte Herr Lorentz schon vor Einstein herausgefunden.
So löst sich dann diese paradoxe Situation auf.
Wäre es nicht so, klingt ja fast wie eine Drohung, dann wäre c = constant in allen Systemen nicht gegeben und die SRT würde sich in Luft auflösen. Es muss ja gelten:
c= L / t1 = L2 / t2
Wenn t1 und t2 sich unterscheiden, dann muss sich L und L2 um dasselbe Maß unterscheiden.
Nun es ist merkwürdig, aber es ist so. Der Hausverstand sträubt sich mit allen Mitteln dagegen.

Bewegte Dinge verkürzen sich in Bewegungsrichtung.
Diese Argumentation finden sie auch schon im Artikel über die Spezielle Relativitätstheorie.

Man hat ausgerechnet, dass sich ein Jumbo im Reiseflug um ca. die Abmessung von einem Atom verkürzt.
Wenn sich also etwas mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, so schrumpft seine Länge auf NULL.
Aber der, der sich da bewegt, merkt gar nichts davon. Im Gegenteil schrumpft für ihn das gesamte Weltall in Bewegungsrichtung auf NULL. Darum heisst es ja Relativitätstheorie.
Er ist zur gleichen Zeit, seiner Zeit, überall gleichzeitig, wohlgemerkt: in Bewegungsrichtung.